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吴国平,定能顺利解决问题,在中考数学里,就可以实现从数到形

发布时间:2021-03-02 14:00编辑:小狐阅读: 811次 手机阅读

吴国平,定能顺利解决问题,在中考数学里,就可以实现从数到形(图1)

函数与几何有关的试题作为中考数学的必考重难点,在中考里占据着重要的位置,毫不夸张的说全国各地中考压轴题都属于此类题型。在解函数与几何有关试题的时候,大家一定要明白一点,此类综合问题不像求解单纯几何问题或单纯函数问题那么简单,需综合考虑函数知识与几何知识之间的内在。

如在一些问题里需考虑几何元素之间的函数关系问题,解这类问题应根据几何图形的性质,建立函数与自变量表示的几何元素之间的等量关系等。或者是先根据函数解析式求出有关点的坐标(如图像与坐标轴交点,两图像交点等)其次依据点的坐标求出有关线段的长度,最后利用有关定理、性质、公式即可使问题获解。

在中考数学里,函数与几何有关的综合问题一直是让考生非常头疼的试题,它既是重难点问题,又是考查学生分析问题和解决问题的能力问题。要想成功解决此类问题,考生除了加强训练,还要培养良好的解题习惯,注重思维方法的训练,理解数形结合思想方法等,定能顺利解决问题。

同时,函数与几何有关的综合问题蕴含着丰富的数学思想方法,如数形结合思想。数形结合是在研究问题时把数和形结合起来考虑,或者把问题的数量关系为图形的性质,或者把图形的性质为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。通过直角坐标系这个工具,有机地进行数形转换,如在解函数与几何的综合题,先求出点的坐标,进而求出函数解析式是解题的基础,同时充分发挥形的因素,实现数形互动,通过坐标把证明与计算相结合是解题的关键。

吴国平,定能顺利解决问题,在中考数学里,就可以实现从数到形(图2)

函数与几何有关的综合问题分析,典型例题1:

己知:二次函数y=ax²+bx+6(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)点A、点B的横坐标是一元二次方程x²﹣4x﹣12=0的两个根.

1请直接写出点A、点B的坐标.

2请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.

3如图1,在二次函数对称轴上是否存在点P,使△APC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

4如图2,连接AC、BC,点Q是线段0B上一个动点点Q不与点0、B重合.过点Q作QD∥AC交BC于点D,设Q点坐标m,0当△CDQ面积S最大时,求m的值.

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考点分析:

二次函数综合题;综合题。

题干分析:

1解一元二次方程x²﹣4x﹣12=0可求A、B两点坐标。

2将A、B两点坐标代入二次函数y=ax²+bx+6,可求二次函数解析式,配方为顶点式,可求对称轴及顶点坐标。

3作点C关于抛物线对称轴的对称点C′,连接AC′,交抛物线对称轴于P点,连接CP,P点即为所求。

4 由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA,利用相似比表示△BDQ的面积,利用三角形面积公式表示△ACQ的面积,根据S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ,运用二次函数的性质求面积最大时,m的值.

解题反思:

本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据已知条件求抛物线解析式,根据抛物线的对称性,相似三角形的知识解题。

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在解决此类问题的时候,我们可以利用函数图像,结合几何图形的性质,通过坐标这个特殊量把“形”和“数”进行完美结合,体现了数形结合的思想方法。在解决问题的过程中,大家观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等,寻找图形中蕴含的数量关系,从而求得坐标,运用推理或计算得出结论,借助图形的几何直观来阐明函数变量之间的某种关系能使问题简单。

同时函数与几何有关的综合问题会把函数、方程、不等式等知识起来,求解的关键是要深挖图形的几何意义,以形为手段,数为目的,依靠形的直观具体,借助坐标来表明数式之间的关系。

函数与几何有关的综合问题分析,典型例题2:

如图,已知抛物线经过定点A(1,0)它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点,P点关于x轴的对称点为P′,过P′作x轴的平行线交抛物线于B.D两点(B点在y轴右侧)直线BA交y轴于C点.按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值:

1当P点坐标为0,1时,写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值。

2若P点坐标为0,m时m为任意正实数线段CA与CB的比值是否与1所求的比值相同?请说明理由.

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考点分析:

二次函数综合题.

题干分析:

1根据抛物线经过A1,0设抛物线的解析式为y=ax²+1,首先得出二次函数解析式,进而得出P点的坐标,从而得出B点坐标,再利用△CP′B∽△COA,得出线段CA与CB的比值。

2根据设抛物线的解析式为y=ax²+ma≠0得出y=﹣mx²+m,首先表示出B点的坐标,进而利用△CP′B∽△COA,得出线段CA与CB的比值.

解题反思:

此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质,得出根据P′B=√2,再利用△CP′B∽△COA,得出是解决问题的关键.

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数与形是数学学习中两个最基本的两个量,它们之间可以相互,将问题化难为易,化抽象为具体。函数与几何有关的综合题恰好体现了数形结合之间的关系,解题关键就是准确深刻理解函数与几何图形结合,即点的坐标,由坐标体现为长度、角度,或是由长度为坐标,也即说数形结合转换离不开坐标。

在函数关系式下求解析式问题,或是在几何图形下求几何问题,这类型问题的解决方法是图形坐标化,通过坐标这个切入点,架起数到形的桥梁,由数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题是以函数为背景探求几何性质,利用函数的性质,解决几个主要点的坐标问题,使几何知识和函数知识有机而自然地结合起来。

善于利用平面直角坐标系,就可以实现从数到形,也可从形到数,即观察图形的形状,分析数与式的结构,适时通过坐标将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含的数量关系,大大减轻了数形转换的难度。

函数与几何有关的压轴题,一直是近年来中考数学命题的热点 这类试题知识点众多,解法灵活,形式多样,综合性强,难度大,要求大家具有很强的分析推理能力。

纵观近几年各地中考试卷中的函数与几何压轴题,从知识结构来看可分为两大类型,即几何含函数型和函数含几何型,这类题目是以几何图形为载体,求几何图形中某些几何量之间的函数关系式.其解题方法是利用几何图形的有关性质,列出几何元素之间的等量关系,并将这种关系成函数关系,最后利用函数的性质解答问题。

本文相关词条概念解析:

函数

函数(function),最早由中国清朝数学家李善兰翻译,出于其著作《代数学》。之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。

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